初始密度对骨自优化结果的影响

　　骨自优化理论在研究骨的生长机理，以及预测非正常情况下(如骨折后的修复，多孔覆盖植入物附近骨的生长过程等)骨的适应过程具有非常重要的意义，是从宏观角度研究受力与生长的关系。本文将骨自优化理论和有限元法结合起来，用计算机模拟了悬臂梁模型的密度分布及激励情况，得到了类似于工程中的桁架结构。重点讨论了参考激励值K固定时，初始均匀密度的变化对结构最终形状和质量的影响。并用骨痂吸收的实际例子再一次验证了初始均匀密度的影响。

　　分类号： 　R318.01; R322.7+1

EFFECTS OF INITIAL DENSITY

ON SELF-OPTIMIZING RESULTS OF BONE

Gong He, Zhu Xinghua

　　(Jilin University of Technology, Changchun 130025)

ABSTRACT

　　It is a heat point to studying the relation between load and growth from macroscopic angle. The apparent density distribution and the stimulus of a cantilever beam were simulated in a computer model by combining the self-optimizing theory of bone with the finite element method. A configuration similar to a frame work in engineering was achieved. The effect of initial uniform density on the end configuration and mass were vitally discussed with a fixed reference value. The absorption of auxiliary bone was cited again to verify the effect of initial uniform density.

　　Key words:　Self-optimizing theory of bone; Finite element method; Bone-remodeling

　　0　引 言

　　Wolff［1］假设骨是一种有自我优化功能的材料，可以根据其力学要求直接调整自己的质量和结构的关系。人们称为Wolff定律。Fyhrie和Carter［2］用数学方法描述骨自优化过程。其方程为：

dρ/dt=B(S-K)(1)

　　式中ρ为骨的表观密度，用以表征骨内部结构特性。S为力学激励，他们取为等效应力(effective stress)。K为参考值，B为常数。称为“bone-maintenance theory”。Fyhrie和Carter［3］用单位质量骨的应变能密度代替了等效应力作为力学激励。Huiskes［4］把描述骨自优化过程的理论统称为自优化理论(Self-optimization theory)。其表达式为：

dρ/dt=B(un/ρ-K)　　0＜ρ≤ρcb(2)

　　E=C×ρr(3)

　　Un为应变能密度。ρcb为最大密度，常取为密质骨的表观密度，本文取ρcb=1.74g/cm3。E为表观弹性模量。C、r为常数。dρ/dt称为目标函数。

　　Huiskes用自优化理论和有限元相结合的方法，讨论了自优化理论模型的稳定性和收敛性，得出：只要有限元网格细到一定程度，时间间隔小到一定程度，就会得到一个稳定的不连续的最终结构图形，而连续结构是不稳定的。采用更精确的单元，更细分网格和更小的时间间隔对结果无影响。还讨论了r值对于稳定性和收敛性的影响。至于初始均匀密度、K值等的影响没有深入讨论。本文的目的在于研究初始均匀密度对骨自优化结果的影响。

　　为了定量预测骨再造过程和最终结构形态，骨结构的内部载荷要以应变能密度的形式精确的确定下来。有限元法就是完成这一任务的有效工具。通过骨自优化理论(方程(2))和有限元法相结合，有关于骨结构形态的预测就可以进行了。我们假设骨的内部具有传感器，它可以探测力学激励，并且可以根据激励值的大小引起局部骨的适应性。也就是说，骨是一种完善的具有自优化功能的“智能”材料，它可以根据力学环境调整本身的质量与结构形态，以最佳的结构形态适应力学环境。

　　1　方 法

　　力学激励Un/ρ在每个单元内确定，每个单元只有一个传感器。当时间间隔满足一定的条件时，可用方程

Δρ=Δt×B×(Un/ρ-K)(4)

　　代替方程(2)。　　为了研究初始均匀密度对骨自优化结果的影响，我们分析了两个模型：(1)二维悬臂梁模型；(2)带有骨痂的股骨模型。

　　有限元中的单元为四节点四边形等参数单元。自优化理论和有限元法结合预测骨结构形态的程序系统流程图如图1所示。

 

图1　结合有限元法的骨再造模拟的迭代反馈机制

　　1.1　二维悬臂梁模型

　　二维悬臂梁模型是平面问题中的一个具有代表意义的结构，它在一定程度上代表长骨的结构及受力情况。通过对其进行的骨自优化分析可以模拟预测它的结构形态。

　　我们用方程(2)控制骨再造过程。其中k=0.1537J/g,B=1.0(g/cm3)2(MPa×时间单位)-1。时间增量取为1.0个任意时间单位。我们要检验它是否小到不至于显著地影响解的过程。表观弹性模量和表观密度的关系如方程(3)所示。其中r=2,C=100(MPa)(g/cm3)-2，μ=0.3。参数和负载的选择保证获得一个典型的密度分布。　　设所选悬臂梁结构(见图2)的长度为L，厚度为b,高度为h，右端受载P，泊松比为μ，弹性模量为E，其数据为：L=0.08m,b=0.002m,h=0.01m,P=5.0N,μ=0.3。

 

图2　二维悬臂梁模型

　　首先，研究了迭代步数的影响。比较了5步和150步的骨自优化结果。

　　其次，研究了传感器数量的影响。通过将模型划分为32×4单元，64×8单元和96×12单元来研究传感器数量的影响，每个单元内有一个传感器。

　　最后，研究了初始条件的影响。讨论了在参考激励值K不变的前提下，初始的均匀密度值的变化对结构的最终质量及形态的影响。为了使初始均匀密度ρ的选取具有典型的数学意义，特用黄金分割法在0＜ρ≤ρcb域内共选出了九个初始密度值，它们是：0.10,0.256,0.408,0.654,0.876,1.014,1.291,1.463,1.74，其单位为g/cm3。

　　1.2　带有骨痂的股骨模型

　　骨痂是骨折以后，在骨的断口的附近区域产生的一种保护性措施。临床实践是随着骨折的逐渐恢复，骨痂被完全吸收。选取这个模型(图3)可以再一次验证初始均匀密度的影响，并对骨痂的吸收机理给予合理的解释。

　　对于这个模型，我们主要研究它的自优化结果，并且分析初始条件的影响。股骨承受弯矩M=2N*m,初始均匀密度分别取为1.74，0.8,0.654g/cm3,骨痂处的密度较低，取为0.256g/cm3。设所选股骨长度为L，宽度为h,泊松比为μ，弹性模量为E，骨痂长度为L1，宽度为h1，其数据为L=0.080m,h=0.030m,μ=0.3,L1=0.020m,h1=0.008m。

　　1.3　再造平衡条件

　　由骨自优化理论确定的再造平衡条件为：

dρ/dt=0(U/ρ=k)或ρ=ρmin或ρ=ρmax(5)

　　式中，ρmin取为0.01g/cm3,ρmax=ρcb。

　　2　结果与分析

　　2.1　二维悬臂梁模型

　　骨的自优化过程从均匀的密度分布开始。我们分析了32×4单元的五步迭代的结果(图4)。悬臂梁的上层和下层的密度是从右向左依次增加的，而中间区域的密度基本上是比较均匀的，且没有出现“空”的单元。当然这与单元数相对较少有关。此时目标函数不等于零，并没有达到收敛要求。迭代步数增加后，梁的中间部分呈现出桁架形状(如图5)。在150步以后，形状稳定下来。这时候骨自优化的结果为：它是沿X轴方向呈轴对称的图形。最上层和最下层的单元密度沿X轴由固定端起逐渐变小，而且没有出现间断的情况。梁的中间部分明显地显示出桁架的形状。