平均数与变异指标

 

　　若将频数自下而上累计到略小于n/2为止，则得A2=67。也得出中位数在10-15组段内。

图4.4　中位数计算示意图

　　（3）写出L或U、fM及i。

　　（4）代入公式得M。

　　例4.1 求杆菌痢疾治愈者157名住院天数的中位数。

　　n/2＝157/2＝78.5

表4.5　杆菌痢疾治愈者的住院天数

　　L=10或U=15，fM=49，i=5。

　　代入公式

　　杆菌痢疾治愈者住院天数的中位数为13.8天。

　　中位数既然把频数等分为二，所以从另一端算起，用式（4.4）可得到同样的结果。

　　此例若计算治愈者平均住院天数得17.9天。从频数表上可看到157名患者中住院天数少于15天的就有90名，占57.3%，因此中位数13.8天的代表性优于均数17.9天。

　　2．百分位数　中位数将频数等分为二，亦称二分位数。若将频数等分为四，则称四分位数，共有三个四分位数，即第一、第二、第三四分位数。第二四分位数即中位数。同理，将频数等分为十或一百的分位数称十分位数或百分位数。其实上述各种分位数都可用百分位数表示。百分位数的符号为Px，X代表第X百分位。例如第一四分位数、中位数可分别以P25、P50表示。计算百分位数的方法与中位数相似，只是式（4.3）中的n/2以nx/100代替，M以X代替。

　　　　　　　　（4.5)

　　式中LX、fx、ix分别为Px所在组的下限、频数及组距。A为小于Lx各组的累计频数。

　　例4.2，求例4.1中住院天数的P90。

　　（1）计算　 

　　（2）累计频数自上而下至略小于141.3，见表4.5第（4）栏，得A=135。知P90在30-35组内，因此Lx=30，i=5,fx=7

　　（3）代入公式

　　第90百分位数为34.5天，说明有90%的患者住院天数在34.5天以下。

　　三、算术均数与几何均数的意义及计算方法

　　（一）算术均数　简称均数。设观察了n个变量值X1，X2，……Xa，一般可直接用式（4.6）求样本均数X。

　　式中∑是总和的符号，n是样本含量即例数。本书在不会引起误解的情况下简写成

　　X=１/n∑X （4.6)

　　例4.318-24岁非心脏疾患死亡的男子心脏重量（g）如下，求心重的均数。

350	320	260	380	270	235	285	300	300	200
275	280	290	310	300	280	300	310	310	320

　　X＝1/20（350+320+…+320）＝5875/20＝293.75g

　　样本均数是总体均数的估计值，它有两个特性。（1）∑（X-X）=0，（2）∑（X-X）2为最小，前者读者

　　可自证，后者证明如下：

　　设：a≠X，则a＝X±d　d>0

　　∑(X-a)2＝∑(X-X±d)2

　　　　　　　　＝∑[(X-X)±d]2

　　  ＝∑(X-X)2±2d∑(X-X)+Nd2

　　从第一个特性知∑(X－X）＝0，因此2d∑（X－X）＝0，

　　得

　　∑（X－a）2＝∑（X－X）2＋Nd2

　　 N是例数，不可能为负，所以Nd2也不会是负数。

　　∑（X－a）2＞∑（X－X）2，∑（X－X）2为最小。

　　当用电子计算机处理大量实验数据，考虑到有较大舍入误差时，则先取一较近均数的常数c ，然后用式（4.7）计算，可提高均数的精度。

　　X＝C＋1/n×（Xi－C）　　　　　　　　　　 （4.7）

　　若每输入一个变量值后都希望得到均数，那么可用式（4.8）

　　X＝X n-1+1/n×（Xn-Xn-1　　　　　　　 (4.8)

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