变异指标
例4.8 试计算4.3中,心重的均差。
由例4.3知X=293.75g,代入式(4.13)得
4.方差 式式(4.13)中用变量值与均数之差的绝对值之和∑∣X-X∣,而不用离均差之和∑(X-X)是因为∑(X-X)=0,不能说明变异情况,故取绝对值以去掉负号。亦有人用平方的办法,即用离均差平方和∑(X-x )2,既去掉了负号,又提高了指标的灵敏性。因为数值愈大,平方后增大的愈多,所以离均差稍有变化,就能从指标上反映出来。例如有甲乙两组数据如下:
X | ∑∣X-X∣ | ∑(X-X)2 | ||||||
甲组 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 12 | 6 | 10 |
乙组 | 9 | 12 | 12 | 13 | 14 | 12 | 6 | 14 |
乙组仅有两个数据与甲组的不同,这种不同从∑∣X-X∣或均差上是反映不出来的,但从∑(X-X)2上却反映出来了。以∑(X-X)2组成的变异指标有方差与标准差。方差是标准差的平方,将在第八章讨论,下面先介绍标准差。
二、标准差
1.标准差的公式 样本标准差是用得最多的变异指标,其公式为
(4.14)
式(4.14)中的n-1是自由度。n个变量值本有n个自由度,但计算标准差时用了样本均数X,因此就受到了一个条件即∑X= nX的限制。例如有4个数据,它们的均数为5。由于受到均数为5的限制,4个数据中只有3个可以任意指定。如果任意指定的是4、3、6,那么第4个数据只能是7,否则均数就不是5了。所以标准差的自由度为n-1。
2.标准差的计算
(1)按基本公式(4.14)计算
例4.9 用例4.3资料计算心重的标准差。
已算得X=293.75g,代入式(4.14)得
(2)递推法当用电子计算机进行计算,希望每输入一个数据,都能得到X与S,则将式(4.8)与式
(4.5)配合计算。
(4.15)
这里Sn表示n个数据的标准差,Sn-1表示n-1个数据的标准差。Xn是第n个数据,Xn-1是n-1个数据的均数。
例4.10 仍用例4.3资料,已算得前19例心重的X19=292.37,S19=38.71。X20=320,代入式(4.15)得
(3)直接法 不需先计算均数,直接用变量值代入式(4.16)或式(1.17)计算。
(4.16)
或 (4.17)
式(4.16)的分子是由式(4.14)的分子简化而得来的,证明如下。
例4.11用ELISA(酶联免疫吸附测定)法检测vero-E6,细胞培养上清正常标本10份的结果(100XOD490值)为2,3,3,4,4,5,5,5,6,8,求标准差。
若用式(4.16)则先计算
∑X=2+3+3+…+6+8=45
∑X2=22+32+32+…62+82=229
若用式(4.17)则先计算
∑fX=1×2+2×3+…+1×6+1×8=45
∑fX2=1×22+2×32+…1×62+1×82=229
然后代入式(4.16)或式(1.17)结果相同。
- 两性
- 男人
- 女性
- 母婴
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